On the correspondence of external rays under renormalization

Carsten L. Petersen, Saeed Zakeri

Research output: Other contributionResearch

Abstract

Lad P være et monisk polynomium af grad D≥3 hvis udfyldte Julia mængde K_P har en ikke-degenereret periodisk komponent K med periode k≥1 og renormaliserings grad 2≤d<D. Lad I=I_K betegne mængden af vinkler θ på cirklen 핋=ℝ/ℤ for hvilke den (glatte eller brudne) ydre stråle R^P_θ for P akkumulerer på ∂K. Vi beviser følgende: ∙ I er en kompakt mængde med Hausdorff dimension <1 og deres findes en essentielt entydigt bestemt grad 1 monoton afbildning Π:I→핋 , som semikonjugerer θ↦D^kθ (mod 1) på I til θ↦dθ (mod 1) på 핋. ∙ Enhver hybrid konjugering φ mellem en renormalisering af P^{∘k} på en omegn af K og et monisk grad d polynomium Q inducerer a semikonjugering Π:I→핋 med den egenskab at for ethvert θ∈I har den ydre stråle R^P_θ samme akkumulationsmængde som kurven φ^{−1}(R^Q_{Π(θ)}). Specielt følger det at R^P_θ lander på z∈∂K hvis og kun hvis R^Q_{Π(θ)} lander på φ(z)∈∂K_Q. ∙ Den korrespondence der etableres af ovenstående er endeligt til én. Mere præcist er kardinaliteten ≤D−d+2 for for enhver fiber af Π, og uligheden er skarp når komponenten K har periode k=1. Ved hjælp af en ny type quasikonformal kirurgi konstruerer vi en klasse af eksempler med k=1 for hvilke den øvre grænse D−d+1 realiseres og for hvilke mængden I har isolerede punkter.
Translated title of the contributionOm forholdet mellem ydre stråler for en renormalisering og ydre stråler for den indre klasse.
Original languageEnglish
Publication date2020
Number of pages43
Publication statusSubmitted - 2020

Cite this