Udvikling, accept og anvendelse af matematiske teorier og modeller belyst ved et eksempel: L.V. Kantorovichs bidrag til operationsanalysen

Lars Bjarne Nielsen, Lioubov Bech & Finn Gunge

Studenteropgave: Kandidatprojekt

Abstrakt

Den russiske matematiker og økonom Leonid Vitalevich Kantorovich udviklede omkring udbruddet af Anden Verdenskrig helt nye matematiske modeller for optimering af produktion, transport og overordnet planlægning af dette. Det var metoder, der bidrog til at ændre tankegangen i den russiske planøkonomi. I dag kender vi denne gren af anvendt matematik som lineær programmering og betragter amerikaneren George B. Dantzig som grundlæggeren og den, der med sin nu vidt udbredte løsningsmetode, Simplexmetoden, gjorde lineær programmering til en succes. Derfor er L.V. Kantorovich indsats mere overset i den vestlige verden. Projektet omhandler udviklingen, modtagelsen og anvendelsen af to af Kantorovichs modeller for matematisk optimering af planlægning og ressourceudnyttelse. Emnet behandles i en kontekstualiseret form, således at der inddrages såvel de matematiske som de historiske og politiske omstændigheder, der førte til den særegne udviklingshistorie, dette arbejde har haft, og som kronedes med at Kantorovich i 1975 fik Nobels ærespris i økonomi sammen med T.C. Koopmans. Rapporten består af 7 kapitler. I første kapitel præsenteres motivation, baggrund og problemformulering for projektet. Andet kapitel omhandler baggrunden for Kantorovichs arbejde og liv, og hans to modeller introduceres. Den første model, multiplikatormodellen er et resultat af en henvendelse fra et krydsfinerlaboratorium, som ville forbedre sine produktionsmetoder. Dette arbejde resulterede i 1939 i en monografi om produktions- og transportplanlægning baseret på de såkaldte løsende multiplikatorer, hvor Kantorovich ikke alene beskrev det forelagte problem, men for første gang præsenterede en sammenhængende teori for matematisk optimering af en lang række problemer i hele samfundet, og som kan kaldes lineær programmering. Den anden model, potentialmodellen, drejer sig om løsning af transportproblemer. Kantorovich udviklede her en anden type multiplikatorer, som han kaldte ’potentialer’ med inspiration fra Monges transportproblem og fra fysikken. Til sidst i kapitlet gennemgås historien om udbredelsen af kendskabet til disse to arbejder til den vestlige verden, en proces der tog 15 år. Det omtales, hvordan krigen og de politiske begivenheder spillede ind. Tredje kapitel er en matematisk gennemgang af Kantorovichs to modeller. Kantorovich beskrev sine matematiske teorier i særskilte publikationer, hvor grundlaget for hans arbejde blev forankret i den matematiske analyse på et højt abstraktionsniveau baseret på funktionalteori, der ikke direkte viser sammenhængen til det praktiske problem. Derved adskilte Kantorovich sig fra sine vestlige kolleger, der i højere grad fokuserede på praktiske løsningsmetoder. I beskrivelsen af Kantorovich multiplikatormetode inddrages hans teoretiske arbejde, og dette projekt er så vidt vides første gang i den vestlige litteratur, hvor det påvises, hvordan teorien hænger sammen med optimeringsproblemet. Beviser og eksempler i artiklen gennemgås, og funktionalteoriens betydning i et svagt kompakt normeret rum anskueliggøres i det k-dimensionale reelle talrum. Optimeringen af et simpelt problem ved hjælp af de i artiklen definerede funktionaler demonstreres ved brug af Kantorovichs egne eksempler fra 1939-monografien. Desuden vises forskelle og ligheder til Lagranges optimeringsmetode, og det diskuteres, hvordan Kantorvich-multiplikatorerne kan tolkes i matematisk og økonomisk sammenhæng. Beskrivelsen af Kantorovichs potentialmetode til løsning af transportproblemet baserer sig på en russisksproget artikel, der så vidt vides ikke tidligere har været gennemgået uden for den tidligere østblok. Denne artikel omhandler optimeringsmetoder til planlægning af blandt andet jernbanetransporten omkring Moskva, hvilket har givet den en stor strategisk betydning. I kapitlet gennemgås princippet for potentialmetoden, for godsstrømsanalysen og optimeringen af et praktisk problem demonstreres.

UddannelserMatematik, (Bachelor/kandidatuddannelse) Kandidat
SprogDansk
Udgivelsesdato1 jun. 2004

Emneord

  • anvendt matematik
  • operationsanalyse
  • matematikhistorie
  • modellering
  • produktionsoptimering
  • sovjet
  • matematik
  • lineær programmering
  • transportoptimering
  • matematisk
  • funktionalanalyse
  • optimering
  • Kantorovich