Siegel diske frembragt ved trans-kvasikonform kirurgi: Siegel discs via trans-quasiconformal surgery

Publikation: Bidrag til bog/antologi/rapportBidrag til bog/antologiForskningpeer review

Resumé

Synthetisk fremstilling af holomorfe afbildninger med en Siegel disk ud fra Blaschkemodeller og kvasikonform kirurgi er en i dag klassisk teknik, som i sin oprindelige form først blev udviklet af Ghys. Grundlæggende består teknikken i at udvide en konjugation, af en (typisk) analytisk cirkel-homeomorfi til en stiv rotation, til en kvasikonform homeomorfi af enhedsdisken på sig selv.
Ved kirurgi og "pull-back" kan man derefter fremstille en ny afbildning og en invariant næsten kompleks struktur for denne nye afbildning. En klassisk sætning af Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers sikre at en sådan næsten kompleksstruktur kan integreres, det vil sige definerer en kompleksstruktur. I denne komplekse struktur er den nye afbildning holomorf og har en Siegel disk.
Der findes imidlertid masser af tilfælde hvor dette ikke lader sig gøre, men hvor man istedet kan finde en trans-kvasikonform udvidelse til enheds-disken af konjugationen.
Hvilket kan vises at være nok til at fuldføre den syntetiske konstruktion af en holomorf afbildning med en Siegel disk.
Om en given cirkelhomeomorfi falder i den ene, den anden eller en helt tredie kategori afgøres af cirkelhomeorfiens rotationstal.
I dette bidrag redegøres der for, at for en mængde af rotationstal med fuldt mål på cirklen har konjugationen en trans-kvasi-konform udvidelse til disken. Dette er et skridt i beviset for at for næsten alle (i Lebeguemåls forstand) rotations tal, er randen af Siegel-disken for et kvadratisk polynomium med en Siegel disk med et sådant rotationstal en Jordan kurve hvis bane går gennem det kritiske punkt og polynomiets Julia mængde har Lebeguemål 0.
Bidragets oversatte titelSiegel diske frembragt ved trans-kvasikonform kirurgi
OriginalsprogEngelsk
TitelQuasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics
RedaktørerBodil Branner, Núria Fagella
Antal sider16
Vol/bindCambridge studies in advanced mathematics 141
Udgivelses stedCambridge UK
ForlagCambridge University Press
Publikationsdatojan. 2014
Sider370-385
Kapitel9.2
ISBN (Trykt)978-1-107-04291-9
StatusUdgivet - jan. 2014

Citer dette

Petersen, C. L. (2014). Siegel discs via trans-quasiconformal surgery: Siegel discs via trans-quasiconformal surgery. I B. Branner, & N. Fagella (red.), Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics (Bind Cambridge studies in advanced mathematics 141, s. 370-385). Cambridge UK: Cambridge University Press.
Petersen, Carsten Lunde. / Siegel discs via trans-quasiconformal surgery : Siegel discs via trans-quasiconformal surgery. Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics. red. / Bodil Branner ; Núria Fagella. Bind Cambridge studies in advanced mathematics 141 Cambridge UK : Cambridge University Press, 2014. s. 370-385
@inbook{8f0bcbfaac1b480e9f3469920d9c60ea,
title = "Siegel discs via trans-quasiconformal surgery: Siegel discs via trans-quasiconformal surgery",
abstract = "Synthetisk fremstilling af holomorfe afbildninger med en Siegel disk ud fra Blaschkemodeller og kvasikonform kirurgi er en i dag klassisk teknik, som i sin oprindelige form f{\o}rst blev udviklet af Ghys. Grundl{\ae}ggende best{\aa}r teknikken i at udvide en konjugation, af en (typisk) analytisk cirkel-homeomorfi til en stiv rotation, til en kvasikonform homeomorfi af enhedsdisken p{\aa} sig selv. Ved kirurgi og {"}pull-back{"} kan man derefter fremstille en ny afbildning og en invariant n{\ae}sten kompleks struktur for denne nye afbildning. En klassisk s{\ae}tning af Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers sikre at en s{\aa}dan n{\ae}sten kompleksstruktur kan integreres, det vil sige definerer en kompleksstruktur. I denne komplekse struktur er den nye afbildning holomorf og har en Siegel disk.Der findes imidlertid masser af tilf{\ae}lde hvor dette ikke lader sig g{\o}re, men hvor man istedet kan finde en trans-kvasikonform udvidelse til enheds-disken af konjugationen. Hvilket kan vises at v{\ae}re nok til at fuldf{\o}re den syntetiske konstruktion af en holomorf afbildning med en Siegel disk. Om en given cirkelhomeomorfi falder i den ene, den anden eller en helt tredie kategori afg{\o}res af cirkelhomeorfiens rotationstal. I dette bidrag redeg{\o}res der for, at for en m{\ae}ngde af rotationstal med fuldt m{\aa}l p{\aa} cirklen har konjugationen en trans-kvasi-konform udvidelse til disken. Dette er et skridt i beviset for at for n{\ae}sten alle (i Lebeguem{\aa}ls forstand) rotations tal, er randen af Siegel-disken for et kvadratisk polynomium med en Siegel disk med et s{\aa}dant rotationstal en Jordan kurve hvis bane g{\aa}r gennem det kritiske punkt og polynomiets Julia m{\ae}ngde har Lebeguem{\aa}l 0.",
author = "Petersen, {Carsten Lunde}",
year = "2014",
month = "1",
language = "English",
isbn = "978-1-107-04291-9",
volume = "Cambridge studies in advanced mathematics 141",
pages = "370--385",
editor = "Bodil Branner and N{\'u}ria Fagella",
booktitle = "Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics",
publisher = "Cambridge University Press",

}

Petersen, CL 2014, Siegel discs via trans-quasiconformal surgery: Siegel discs via trans-quasiconformal surgery. i B Branner & N Fagella (red), Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics. bind Cambridge studies in advanced mathematics 141, Cambridge University Press, Cambridge UK, s. 370-385.

Siegel discs via trans-quasiconformal surgery : Siegel discs via trans-quasiconformal surgery. / Petersen, Carsten Lunde.

Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics. red. / Bodil Branner; Núria Fagella. Bind Cambridge studies in advanced mathematics 141 Cambridge UK : Cambridge University Press, 2014. s. 370-385.

Publikation: Bidrag til bog/antologi/rapportBidrag til bog/antologiForskningpeer review

TY - CHAP

T1 - Siegel discs via trans-quasiconformal surgery

T2 - Siegel discs via trans-quasiconformal surgery

AU - Petersen, Carsten Lunde

PY - 2014/1

Y1 - 2014/1

N2 - Synthetisk fremstilling af holomorfe afbildninger med en Siegel disk ud fra Blaschkemodeller og kvasikonform kirurgi er en i dag klassisk teknik, som i sin oprindelige form først blev udviklet af Ghys. Grundlæggende består teknikken i at udvide en konjugation, af en (typisk) analytisk cirkel-homeomorfi til en stiv rotation, til en kvasikonform homeomorfi af enhedsdisken på sig selv. Ved kirurgi og "pull-back" kan man derefter fremstille en ny afbildning og en invariant næsten kompleks struktur for denne nye afbildning. En klassisk sætning af Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers sikre at en sådan næsten kompleksstruktur kan integreres, det vil sige definerer en kompleksstruktur. I denne komplekse struktur er den nye afbildning holomorf og har en Siegel disk.Der findes imidlertid masser af tilfælde hvor dette ikke lader sig gøre, men hvor man istedet kan finde en trans-kvasikonform udvidelse til enheds-disken af konjugationen. Hvilket kan vises at være nok til at fuldføre den syntetiske konstruktion af en holomorf afbildning med en Siegel disk. Om en given cirkelhomeomorfi falder i den ene, den anden eller en helt tredie kategori afgøres af cirkelhomeorfiens rotationstal. I dette bidrag redegøres der for, at for en mængde af rotationstal med fuldt mål på cirklen har konjugationen en trans-kvasi-konform udvidelse til disken. Dette er et skridt i beviset for at for næsten alle (i Lebeguemåls forstand) rotations tal, er randen af Siegel-disken for et kvadratisk polynomium med en Siegel disk med et sådant rotationstal en Jordan kurve hvis bane går gennem det kritiske punkt og polynomiets Julia mængde har Lebeguemål 0.

AB - Synthetisk fremstilling af holomorfe afbildninger med en Siegel disk ud fra Blaschkemodeller og kvasikonform kirurgi er en i dag klassisk teknik, som i sin oprindelige form først blev udviklet af Ghys. Grundlæggende består teknikken i at udvide en konjugation, af en (typisk) analytisk cirkel-homeomorfi til en stiv rotation, til en kvasikonform homeomorfi af enhedsdisken på sig selv. Ved kirurgi og "pull-back" kan man derefter fremstille en ny afbildning og en invariant næsten kompleks struktur for denne nye afbildning. En klassisk sætning af Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers sikre at en sådan næsten kompleksstruktur kan integreres, det vil sige definerer en kompleksstruktur. I denne komplekse struktur er den nye afbildning holomorf og har en Siegel disk.Der findes imidlertid masser af tilfælde hvor dette ikke lader sig gøre, men hvor man istedet kan finde en trans-kvasikonform udvidelse til enheds-disken af konjugationen. Hvilket kan vises at være nok til at fuldføre den syntetiske konstruktion af en holomorf afbildning med en Siegel disk. Om en given cirkelhomeomorfi falder i den ene, den anden eller en helt tredie kategori afgøres af cirkelhomeorfiens rotationstal. I dette bidrag redegøres der for, at for en mængde af rotationstal med fuldt mål på cirklen har konjugationen en trans-kvasi-konform udvidelse til disken. Dette er et skridt i beviset for at for næsten alle (i Lebeguemåls forstand) rotations tal, er randen af Siegel-disken for et kvadratisk polynomium med en Siegel disk med et sådant rotationstal en Jordan kurve hvis bane går gennem det kritiske punkt og polynomiets Julia mængde har Lebeguemål 0.

M3 - Book chapter

SN - 978-1-107-04291-9

VL - Cambridge studies in advanced mathematics 141

SP - 370

EP - 385

BT - Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics

A2 - Branner, Bodil

A2 - Fagella, Núria

PB - Cambridge University Press

CY - Cambridge UK

ER -

Petersen CL. Siegel discs via trans-quasiconformal surgery: Siegel discs via trans-quasiconformal surgery. I Branner B, Fagella N, red., Quasiconformal Surgery in Holomorphic Dynamics. Bind Cambridge studies in advanced mathematics 141. Cambridge UK: Cambridge University Press. 2014. s. 370-385