On the correspondence of external rays under renormalization

Lad P være et monisk polynomium af grad D≥3 hvis udfyldte Julia mængde K_P har en ikke-degenereret periodisk komponent K med periode k≥1 og renormaliserings grad 2≤d<D. Lad I=I_K betegne mængden af vinkler θ på cirklen 핋=ℝ/ℤ for hvilke den (glatte eller brudne) ydre stråle R^P_θ for P akkumulerer på ∂K. Vi beviser følgende: ∙ I er en kompakt mængde med Hausdorff dimension <1 og deres findes en essentielt entydigt bestemt grad 1 monoton afbildning Π:I→핋 , som semikonjugerer θ↦D^kθ (mod 1) på I til θ↦dθ (mod 1) på 핋. ∙ Enhver hybrid konjugering φ mellem en renormalisering af P^{∘k} på en omegn af K og et monisk grad d polynomium Q inducerer a semikonjugering Π:I→핋 med den egenskab at for ethvert θ∈I har den ydre stråle R^P_θ samme akkumulationsmængde som kurven φ^{−1}(R^Q_{Π(θ)}). Specielt følger det at R^P_θ lander på z∈∂K hvis og kun hvis R^Q_{Π(θ)} lander på φ(z)∈∂K_Q. ∙ Den korrespondence der etableres af ovenstående er endeligt til én. Mere præcist er kardinaliteten ≤D−d+2 for for enhver fiber af Π, og uligheden er skarp når komponenten K har periode k=1. Ved hjælp af en ny type quasikonformal kirurgi konstruerer vi en klasse af eksempler med k=1 for hvilke den øvre grænse D−d+1 realiseres og for hvilke mængden I har isolerede punkter.